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  • Projection orthogonale (sous-espace vectoriel euclidien)

    Formulaire de report


    Projection orthogonale \(p\) sur \(F\) Sous-espace vectoriel de \(E\) euclidien
    Projection sur \(F\) parallèlement à son Orthogonal \(F^\perp\).
    • propriété importante : le projeté orthogonal minimise la distance de \(x\) à \(F\) : $$\lVert x-p(x)\rVert=\inf_{y\in F}\lVert x-y\rVert$$
    • obtention : si \((e_1,\dots,e_p)\) est une Base orthonormale de \(F\), alors on a via le Produit scalaire : $$p(x)=\sum_{i=1}^p\langle{x,e_i}\rangle e_i$$
    • relation entre \(P_F\) et \(P_{F^\perp}\) : \(P_F+P_{F^\perp}=\operatorname{Id}\)

    START
    Ω Basique (+inversé optionnel)
    Recto: Donner une caractérisation du projeté orthogonal \(p_K(x)\) de \(x\) dans un espace de Hilbert sur un sous-espace vectoriel fermé \(K\).
    Verso: $$p_K(x)\in K\quad\text{ et }\quad x-p_K(x)\perp K$$
    Bonus:
    Carte inversée ?: y
    END