Projection orthogonale (sous-espace vectoriel euclidien)
Projection orthogonale \(p\) sur \(F\)
Sous-espace vectoriel de \(E\)
euclidienProjection sur \(F\) parallèlement à son
Orthogonal \(F^\perp\).
- propriété importante : le projeté orthogonal minimise la distance de \(x\) à \(F\) : $$\lVert x-p(x)\rVert=\inf_{y\in F}\lVert x-y\rVert$$
- obtention : si \((e_1,\dots,e_p)\) est une Base orthonormale de \(F\), alors on a via le Produit scalaire : $$p(x)=\sum_{i=1}^p\langle{x,e_i}\rangle e_i$$
- relation entre \(P_F\) et \(P_{F^\perp}\) : \(P_F+P_{F^\perp}=\operatorname{Id}\)
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner une caractérisation du projeté orthogonal \(p_K(x)\) de \(x\) dans un espace de Hilbert sur un
sous-espace vectoriel fermé \(K\).
Verso: $$p_K(x)\in K\quad\text{ et }\quad x-p_K(x)\perp K$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END